Tương tự như hàm số hay tích phân, vi phân, đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và nhiều lĩnh vực khác.
Ý nghĩa hình học của đạo hàm[sửa | sửa mã nguồn]
Tiếp tuyến của đường cong phẳng[sửa | sửa mã nguồn]
Đạo hàm của hàm số tại
là hệ số góc của tiếp tuyến
của (C) tại điểm .
Chứng minh:
Giả sử ta có điểm
là điểm di chuyển trên (C).
Ta có =
Hệ số góc của cát tuyến
là
Khi M dần tới () thì
và ngược lại.
Theo giả thiết, f(x) có đạo hàm tại nên tồn tại giới hạn
=
Vậy khi thì cát tuyến
dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng ,
có hệ số góc bằng .
Đường thẳng là tiếp tuyến tại của (C).
Vậy
là hệ số góc của tiếp tuyến tại của đồ thị (C)
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm y=f(x) tại là
trong đó .
Điều này được rút ra từ tiếp tuyến đường cong phẳng.
Ý nghĩa vật lý của đạo hàm[sửa | sửa mã nguồn]
Một chuyển động thẳng có phương trình dạng là một hàm số có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức trong đó nếu sẽ có độ chính xác càng cao..
Cường độ tức thời của dòng điện[sửa | sửa mã nguồn]
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian là hoặc đơn giản chỉ là
Với đạo hàm cấp hai ta có là gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.
Ý nghĩa hàm số của đạo hàm[sửa | sửa mã nguồn]
Xét tính đơn điệu của hàm số[sửa | sửa mã nguồn]
Định lý sau đây được thừa nhận: Cho hàm y=f(x) có đạo hàm trên K
nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) đồng biến trên K
nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K
giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K. Nếu f'(x) 0 tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K
Điều kiện để hàm số có cực trị[sửa | sửa mã nguồn]
Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) liên tục trên và có đạo hàm trên K hoặc trên
Nếu f'(x)>0 trên khoảng và f'(x)<0 trên khoảng thì là một điểm cực đại của hàm số f(x)
Nếu f'(x)<0 trên khoảng và f'(x)>0 trên khoảng thì là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)
Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K kể trên và h>0 thì:
nếu
nếu