Số nguyên tố Fibonacci

Một số nguyên tố Fibonacci là một số Fibonacci đồng thời là số nguyên tố. Sau đây là một vài số nguyên tố Fibonacci

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597,... (dãy số A005478 trong bảng OEIS)

Trừ trường hợp n = 4, nếu F_n là số nguyên tố thì n là số nguyên tố. Tuy nhiên mệnh đề đảo không đúng.

Khảo sát tính nguyên tố của 25 số Fibonacci đầu tiên

n	F(n)	-	n	F(n)	-
0	0	-	1	1	-
[2]	1	-	[3]	2	PRIME
4	3	PRIME	[5]	5	PRIME
6	8	= 2^3	[7]	13	PRIME
8	21	= 3 x 7	9	34	= 2 x 17
10	55	= 5 x 11	[11]	89	PRIME
12	144	= 24 x 32	[13]	233	PRIME
14	377	= 13 x 29	15	610	= 2 x 5 x 61
16	987	= 3 x 7 x 47	[17]	1597	PRIME
18	2584	= 23 x 17 x 19	[19]	4181	= 37 x 113
20	6765	= 3 x 5 x 11 x 41	21	10946	= 2 x 13 x 421
22	17711	= 89 x 199	[23]	28657	PRIME
24	46368	= 25 x 32 x 7 x 23	25	75025	= 52 x 3001

F_p là số nguyên tố với 8 số trong 10 số nguyên tố đầu tiên; trừ F₂ = 1 và F₁₉ = 4181 = 37 x 113. Tuy nhiên, các số nguyên tố Fibonacci là khá hiếm khi chỉ số tăng - F_p là số nguyên tố chỉ 25 số trong số 1.229 số nguyên tố p dưới 10.000.^[1]

Hiện tại, số nguyên tố Fibonacci lớn nhất được biết là F₈₁₈₃₉, với 17103 chữ số;^[2] số lớn nhất có khả năng là nguyên tố Fibonacci là F₆₀₄₇₁₁, với 126377 chữ số.^[3] Chưa biết chắc rằng có thể có vô hạn số nguyên tố Fibonacci không.

Tính chia hết của các số Fibonacci với chỉ số nguyên tố

Các số Fibonacci có chỉ số p nguyên tố không có ước chung lớn hơn 1 với các số Fibonacci khác, đó là vì

ƯCLN(F_n, F_m) = F_ƯCLN(n,m).^[4]

Với n≥3, F_n chia hết F_m nếu n chia hết m.^[5]

Nếu ta biết rằng m, là một số nguyên tố p thì từ đẳng thức trên, và n là nhỏ hơn p, rõ ràng rằng F_p, không thể có ước chung khác với bất kỳ số Fibonacci nào.

ƯCLN(F_p, F_n) = F_ƯCLN(p,n) = F₁ = 1

Định lý Carmichael khẳng định rằng mọi số Fibonacci với chỉ số lớn hơn 12 có ít nhất một ước nguyên tố không là ước của các số Fibonacci nào đứng trước nó.

Tham khảo

^ Sloane's A005478, Sloane's A001605
^ Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de Water
^ PRP Records
^ Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer-Verlag 2000
^ Wells 1986, p.65

Xem thêm

Liên kết

[1] Sloane's A005478, Sloane's A001605

[2] Number Theory Archives announcement by David Broadhurst and Bouk de Water

[3] PRP Records

[4] Paulo Ribenboim, My Numbers, My Friends, Springer-Verlag 2000

[5] Wells 1986, p.65

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

x t s Phân loại các số nguyên tố
Theo công thức	Fermat ( $2 2 n + 1$ ) Mersenne ( $2 p - 1$ ) Mersenne kép ( $2 2 p -1 - 1$ ) Wagstaff $(2 p + 1)/3$ Proth ( $k \cdot2 n + 1$ ) Giai thừa ( $n! \pm 1$ ) Primorial ( $p n # \pm 1$ ) Euclid ( $p n # + 1$ ) Pythagorean ( $4 n + 1$ ) Pierpont ( $2 u \cdot3 v + 1$ ) Quartan ( $x 4 + y 4$ ) Solinas ( $2 a \pm 2 b \pm 1$ ) Cullen ( $n \cdot2 n + 1$ ) Woodall ( $n \cdot2 n - 1$ ) Cuban ( $x 3 - y 3)/(x - y$ ) Carol $(2 n - 1) 2 - 2$ Kynea $(2 n + 1) 2 - 2$ Leyland ( $x y + y x$ ) Thabit ( $3\cdot2 n - 1$ ) Mills ( $⌊ A 3 n ⌋$ )
Theo dãy số nguyên	Fibonacci Lucas Pell Newman–Shanks–Williams Perrin Phân hoạch Bell Motzkin
Theo tính chất	(Cặp Wieferich) Wall–Sun–Sun Wolstenholme Wilson May rủi May mắn Ramanujan Pillai Chính quy Mạnh Stern Siêu trội (đối với đường cong elliptic) Siêu trội (trong thuyết Ánh trăng) Tốt Siêu phàm Higgs Fortune
Phụ thuộc vào hệ số	May mắn Nhị diện Palindromic Emirp Repunit $(10 n - 1)/9$ Hoán vị Vòng Rút ngắn được Strobogrammatic Tối thiểu Yếu Đầy đủ Đơn nhất Nguyên thủy Smarandache–Wellin
Theo mô hình	Sinh đôi ( $p, p + 2$ ) Chuỗi bộ đôi ( $n - 1, n + 1, 2 n - 1, 2 n + 1, \dots$ ) Bộ tam ( $p, p + 2 or p + 4, p + 6$ ) Bộ tứ ( $p, p + 2, p + 6, p + 8$ ) Bộ k Họ hàng ( $p, p + 4$ ) Sexy ( $p, p + 6$ ) Chen Sophie Germain ( $p, 2 p + 1$ ) chuỗi Cunningham ( $p, 2 p \pm 1, \dots$ ) An toàn ( $p, (p - 1)/2$ ) Trong cấp số cộng ( $p + a\cdotn, n = 0, 1, \dots$ ) Đối xứng ( $consecutive p - n, p, p + n$ )
Theo kích thước	Hàng nghìn (1,000+ chữ số) Hàng chục nghìn (10,000+ chữ số) Hàng triệu (1,000,000+ chữ số) Lớn nhất từng biết
Số phức	Số nguyên tố Eisenstein Số nguyên tố Gauss
Hợp số	Số giả nguyên tố Số gần nguyên tố Số nửa nguyên tố Giữa các nguyên tố
Chủ đề liên quan	Số có thể nguyên tố Số nguyên tố cấp công nghiệp Số nguyên tố bất chính Công thức của số nguyên tố Khoảng cách nguyên tố
50 số nguyên tố đầu	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229
Danh sách số nguyên tố